Программные продукты и системы

Как известно, выделяют два основных вида аппроксимационных моделей: параметрические и непараметрические (локально-параметрические).

При параметрическом подходе вначале выбирается аппроксимирующая зависимость, известная с точностью до параметров, затем на основе обучающей выборки производится адаптация ее параметров (обучение). К параметрическим методам моделирования относятся: полиномиальные нейронные сети (Σ-Π нейронные сети), многослойные персептроны и др.

При непараметрическом подходе вначале так же выбирается тип аппроксимирующей зависимости, но в данном случае по экспериментальным данным строится большое количество указанных зависимостей, каждая из которых действует в некоторой локальной области входных факторов и имеет свои параметры. К непараметрическим методам моделирования относятся: метод М-ближайших узлов, нейронные сети с радиальными базисными элементами и др.

В статье предложена гибридная полиномиально-радиальнобазисная нейронная сеть, позволяющая в ряде случаев совместить достоинства параметрического (малая чувствительность к шуму) и непараметрического (отсутствие необходимости подбирать глобальную модель) подходов.

Предположим, что исследуемый статический объект имеет n входов (векторный вход ) и один выход y. Связь между  и y в n-мерной области  может быть адекватно представлена моделью:

,                                                         (1)

где  – функция неизвестного вида;  – аддитивная случайная помеха (отражает действие неучитываемых факторов) с нулевым математическим ожиданием и неизвестным распределением на .

Функция  представима в виде:

,                                              (2)

где  – полиномиальная функция:

,                           (3)

где  – постоянные параметры;  – целый положительный параметр;  – целые неотрицательные параметры;  – нелинейная функция общего вида.

Для функций  и  выполняется соотношение:

,                                              (4)

где  – функционал, возвращающий среднеквадратичное значение функции-аргумента в области :

, .

Предположим далее, что на объекте реализован эксперимент, заключающийся в регистрации N пар значений:

.                                             (5)

При этом ; значения  и y измерены без ошибок. Требуется на основе экспериментальных данных (5) восстановить неизвестную зависимость .

В работах академика А.Г. Ивахненко сформулирован принцип адекватности, согласно которому объект и его система моделирования или управления для наиболее оптимального решения задачи должны обладать рядом общих черт. В соответствии с принципом адекватности для решения рассматриваемой задачи предложена гибридная полиномиально-радиальнобазисная искусственная нейронная сеть (HPRBFN, от Hybrid Polynomial Radial Basis Function Network), структурно состоящая из радиально-базисной части (РБЧ), полиномиальной части (ПЧ) и блока взвешенного суммирования.

Предложенная искусственная нейронная сеть реализует следующую нелинейную зависимость:

,                      (6)

где , u – весовые коэффициенты; ,  – функции, реализуемые радиальными нейронами и ПЧ сети соответственно:

,                                  (7)

,                        (8)

 – евклидова векторная норма; , ,  – постоянные параметры;  – целый положительный параметр;  – целые неотрицательные параметры.

Структура нейронной сети определяется числом радиальных нейронов M, числом пи-нейронов L и их параметрами .

Алгоритм обучения HPRBFN на основе выборки (5) состоит в последовательной реализации трех этапов: 1) обучение РБЧ (параметры , , ) в предположении, что ПЧ отсутствует (); 2) обучение ПЧ сети (параметры ) в предположении, что РБЧ отсутствует (); 3) оптимальная настройка параметра u, определяющего соотношение между влиянием РБЧ и ПЧ на выход сети, по критерию наименьшей погрешности аппроксимации.

Вычислительные эксперименты показали, что если исследуемая зависимость адекватно описывается соотношениями (1) и (2), предложенная гибридная полиномиально-радиальнобазисная нейронная сеть обеспечивает лучшую по точности аппроксимацию по сравнению с другими известными методами.