Software & Systems

Методика построения кодового слова для кодов, ориентированных на использование в MIMO-системах, представленная в [1], основана на построении кодовых слов путем объединения независимо кодируемых частей, называемых слоями. Слой представляет собой вектор из комплексных чисел, а кодовое слово – матрицу, каждый элемент которой принадлежит некоторому слою. При объединении слоев в кодовое слово элемент каждого слоя передается в каждый промежуток времени так, что частоты использования каждой передающей антенны (в передаче элементов слоя) равны. Далее методику построения кодовых слов будем называть методикой слоения.

Методика слоения была использована в [2] для построения кодовых слов пространственно-частотно-временного кода. Каждое кодовое слово этого кода состоит из нескольких независимо кодируемых блоков. Каждый такой блок строится на основе методики слоения. В дальнейшем, говоря о коде и методике, будем подразумевать под ними пространственно-частотно-временной код и методику построения его кодовых слов (см. [2]).

Методика построения пространственно-час­тотно-временного кодового слова включает выполнение двух действий: построение блоков кодового слова и объединение этих блоков в одно кодовое слово. Покажем, как построить матрицу этих действий, которую назовем порождающей матрицей.

Введем следующие обозначения:  – множество положительных целых чисел;  – кольцо целых чисел;  – поле рациональных чисел;  – поле комплексных чисел; символом j обозначим ;  – вектор-столбец a; T, H – обычное транспонирование и транспонирование с сопряжением соответственно; ëxû, éxù – наибольшее целое число, меньшее или равное x, и наименьшее целое число, большее или равное x, соответственно; diag(x0, x1, …, xN-1) – диагональная матрица размера N´N с диагональными элементами, равными x0 x1 … xN-1, если xn – это скаляр, или блоковая диагональная матрица размера NM´NM с матрицами размера M´M на главной диагонали, если xn – это матрица размера M´M, где n=0, 1, … N-1.

Характеристики MIMO-системы: Nt – число передающих антенн; Nb – число блоков замираний [1], в течение которых будет передаваться кодовое слово; L – число лучей при распространении сигнала от каждой антенны (будем предполагать, что на каждом из лучей соответствующие задержки во времени одинаковы для всех антенн).

Опишем методику построения кодового слова пространственно-частотно-временного кода. Допустим, что имеется некоторый комплексный вектор определенной длины, который необходимо преобразовать в кодовое слово. По методике этот вектор разделяется на части, также представляющие собой векторы. Эти векторы подвергаются одинаковому матричному преобразованию. В результате каждого такого преобразования получается вектор, который определяет блок кодового слова. Если обозначить такой блок через , структура кодового слова  примет вид

,                                           (1)

где J – число блоков в кодовом слове.

Предположим, что нужно закодировать Ns=NLNqNtNbJ информационных символов из алфавита , где  и . Пусть  – информационный вектор, составленный из информационных символов. Если представить информационный вектор  в виде , то по методике [1] вектор  (i=1, …, J) используется для построения i-го блока кодового слова; а если вектор  представить в виде , то вектор  можно использовать для построения j-го слоя блока кодового слова.

По методике построения каждый вектор  преобразуется в вектор  путем умножения справа на матрицу , то есть

.                                                           (2)

Прежде чем дать определение матрицы Qj, сделаем ряд допущений. Пусть FM – матрица дискретного преобразования Фурье размера M´M, где . Пусть Y – комплексная матрица вида Y=diag(1 j … jM-1), где . Пусть K – расширение поля , которое содержит все элементы Y, алфавит , величины , где tl – задержка l-го луча (l=1, …, L); Ts – время передачи сигнала. Пусть f – алгебраическое число порядка как минимум NLNqNb над полем K.

Теперь определим матрицу Qj как матрицу, получаемую путем вырезания первых NLNtNb строк и столбцов из матрицы Yj=Yfj-1.

Объединим множество слоев , полученных с помощью (2), в вектор

.                                       (3)

Далее, говоря об элементе вектора , будем подразумевать любой элемент некоторого слоя. Итак, по методике, вектор  преобразуется в вектор  путем перестановок своих элементов. Но положение конкретного элемента вектора  в векторе  зависит как от слоя, к которому он принадлежит, так и от положения этого элемента в слое.

Для построения кодового слова удобно воспользоваться двумя вспомогательными векторами, элемент первого будет показывать номер слоя (вектор слоев), а элемент второго – положение в слое (вектор смещений).

Обозначим  вектор слоев, а  – вектор смещений. Число элементов в векторе  равно NLNqNtNb, поэтому  и . Если элемент вектора  обозначить как hk, а элемент вектора  через mk, то на основе значений этих элементов можно построить матрицу , выполняющую преобразование вектора  в вектор . Элемент матрицы P (обозначим его pm,k) может принимать значения либо 0, либо 1 в зависимости от значений элементов hk и mk по следующему правилу:

 (4)

где m=1,…,NLNqNtNb.

После определения матрицы P весь процесс перестановок элементов вектора , в результате которого получается вектор , можно заменить умножением справа на эту матрицу.

В результате получается, что

.                                                                      (5)

Зная множество векторов  и основываясь на выражении (1), можно получить кодовое слово .

Построение порождающей матрицы

Завершив описание методики построения кодового слова, покажем, как построить порождающую матрицу кода. На основе формул (2) и (5) построим матрицу Gi вида Gi=P×diag(Q1 Q2 … QNq), с помощью которой можно заменить весь процесс построения вектора  умножением справа вектора  на матрицу Gi. Если через Gcodeword обозначить матрицу вида

Gcodeword=diag(G1, …, GJ),                                     (6)

процесс построения кодового слова можно заменить умножением информационного вектора  справа на Gcodeword, то есть .

Матрица Gcodeword называется порождающей матрицей кода.

В теории кодов, ориентированных на использование в MIMO-системах, кодовые слова традиционно представляют в виде матриц. Поэтому, чтобы завершить описание рассматриваемого кода, необходимо упомянуть об элементе, называемом форматировщиком, который и выполняет соответствующее преобразование кодового вектора  в кодовую матрицу Y. В данном случае он создает кодовую матрицу построчно, последовательно обозначая каждые NtNb символов вектора  строкой кодовой матрицы.

Пример. Параметры MIMO-системы: Nt=2, Nb=2, L=2. Пусть J=2, тогда Ns=NLNqNtNbJ= =2×2×2×2×2=32. Предположим, что необходимо закодировать вектор , тогда вектор , где i=1, …, J.

Обозначим k-й элемент вектора  через xi,j(k)fj-1.

Воспользовавшись выражением (3), получим

и .

Объединив  и , получим

.

Если предположить, что вектор слоев

и вектор смещений

, тогда на основе (4) получим матрицу P.

Используя , , P и выражение (5), получим определяющие блоки кодового слова

и .

Объединив  и , из 32 компонент получим кодовый вектор:

.

Применив форматировщик, настроенный на длину строки, равную 4 элементам, к вектору , получим кодовую матрицу Y размером 8´4.

Матрица Y соответствует пространственно-частотно-временному кодовому слову для 8 подканалов.

Знание порождающей матрицы (6) позволило сократить число действий, необходимых для построения кодового слова пространственно-час­тотно-временного кода, представленного в [2]. В общем, число действий сократилось до одного умножения справа информационного вектора на порождающую матрицу.

Литература

1.   Gamal H.El., Damen M.O. Universal Space–Time Coding // IEEE Transactions on Information Theory, V. 49, № 5, pp. 1097–1119, may 2003.

2.   Zhang Wei, Xiang-Gen Xia, Ching P.C. High-Rate Full-Diversity Space–Time–Frequency Codes for Broadband MIMO Block-Fading Channels // IEEE Transactions on Communications, V. 55, № 1, january 2007.