Software & Systems

В реальных условиях функционирования систем массового обслуживания (СМО) достаточно часто возникают ситуации, когда обслуживание отдельных судов должно производиться вне всякой очереди, если только в очереди нет заявок, имеющих такие же преимущества. В этом случае рассматривается несколько групп заявок, причем заявки первой группы (первого приоритета, первого ранга) имеют преимущество над заявками второй группы, а те, в свою очередь, над заявками третьей группы, и так далее.

Возникающие при этом способы обслуживания нескольких потоков, соответствующих группам заявок с различными приоритетами, могут быть решены по-разному. Достаточно часто рассматривают системы с абсолютным приоритетом. Если заявка с абсолютным приоритетом застает все каналы занятыми, то обслуживание одной из заявок с низшим приоритетом прекращается, а на освободившемся канале осуществляется обработка заявки с высшим приоритетом. После того как обработка судна с высшим приоритетом заканчивается, а других заявок с высшим приоритетом в очереди нет, возобновляется прерванное обслуживание заявки с низшим приоритетом.

В настоящей работе автором предлагается метод результирующих средних, который позволяет определять среднее время ожидания нескольких групп заявок с различными приоритетами как для одноканальных, так и для многоканальных СМО.

Сформулируем задачу для одноканальной системы. Пусть на вход СМО может поступать L групп заявок, причем входной поток каждой группы представляет собой простейший поток с интенсивностью ll (l=1,2..L). Тогда суммарный входной поток всех групп заявок также будет простейшим с интенсивностью . Здесь и далее значение l соответствует номеру приоритета. Интенсивность обслуживания всех заявок одинакова и равна m. При определении времени ожидания различных заявок сделаем два допущения.

1.  Результирующее среднее время ожидания первых р групп заявок зависит только от суммы интенсивностей соответствующих потоков  и не зависит от интенсивности потоков с более низким приоритетом ll (l=р+1, р+2,..L). Это допущение вытекает из определения абсолютного приоритета.

2.  Результирующее среднее время ожидания групп заявок с приоритетом больше р(l=р+1, р+2,..L) и среднее время ожидания р+l-й группы судов зависит только от суммарной интенсивности заявок с более высокими приоритетами, меньше и не зависит от соотношений между интенсивностями этих потоков. Это допущение вытекает из положения о независимости результирующего среднего времени ожидания от дисциплины обработки грузов.

Рассмотрим плотности отдельных потоков  и суммарных потоков . В соответствии с первым допущением результирующее среднее время ожидания группы заявок с первым приоритетом, групп заявок с первым и вторым приоритетами и групп заявок с р приоритетами запишем:

; ; ,(1)

где t(p) – результирующее среднее время ожидания групп заявок с первыми р приоритетами. Исходя из второго допущения, можно записать следующее равенство:

.                                          (2)

Выражение (2) представляет собой математическое ожидание результирующего времени ожидания первых p групп заявок, полученное на основе байесова подхода. Тогда среднее время ожидания для заявок с p-м приоритетом определяется из (2) на основе рекуррентного выражения вида:

.                                          (3)

При этом для p=1 .

Подставив в выражение (3) выражение (2), получим следующее выражение для результирующей средней времени ожидания:

.                   (4)

Метод результирующих средних может быть использован и для многоканальных СМО.

При этом следует сделать дополнительное допущение о том, что обработка судов с различным приоритетом осуществляется с одинаковой интенсивностью. Для систем без взаимопомощи эта интенсивность равна m, а в системах с частичной взаимопомощью предполагается, что интенсивность обработки всех заявок независимо от приоритета примерно одинакова.

Тогда для определения среднего времени ожидания можно (как в одноканальной системе) воспользоваться выражением (4). При этом результирующее среднее время ожидания для p групп судов (l=1,2,..p) будет определяться выражениями:

;                                       (5)

,                           (6)

где Р0 – вероятность того, что все каналы свободны; ri – коэффициент интенсивности обслуживания заявки в i-м состоянии; S – число каналов; rs – максимальная интенсивность обслуживания заявок при n≥S.

Указанные модели были использованы при решении задач исследования и оптимизации процессов обработки судов на контейнерных терминалах.