Software & Systems

Рассмотрим задачу моделирования движения фрезерного инструмента при многокоординатной обработке. На начальном этапе строится траектория движения инструмента. Исходя из практики применения такого моделирования, траектория должна быть получена в системе координат заготовки.

Основная постановка задачи: задана кинематика станка в виде дерева, узлами которого являются оси, осуществляющие вращение или перемещение элементов станка (рис. 1). Каждая ось управляется не более чем одной координатой. Заданы начальные и конечные значения координат для управления станком. Изменение всех координат считается линейным по времени. Необходимо аппроксимировать траекторию движения инструмента NURBS с заданной точностью в системе координат заготовки.

Идея аппроксимации траектории заключается в следующем. На первом этапе точным аналитическим методом находим касательные векторы на концах сегмента траектории. Затем строим сегмент рациональной кубической кривой, соответствующий найденным касательным векторам. Далее оцениваем погрешность и разбиваем сегмент траектории на части, если это необходимо.

Касательными векторами на концах траектории являются векторы мгновенной скорости движения инструмента. Мгновенная скорость в некоторой точке P(t) равна производной закона движения этой точки по t. Движение инструмента относительно заготовки опишем путем умножения всех точек инструмента на некоторую матрицу, зависящую от t. Тогда

,                               (1)

где P(t) – точка на кривой; P0 – точка в начале кадра (P0=P(t)|t=0); M(t) – матрица перемещения инструмента из P0 в P(t). Матрица M(t) представима в виде

                  (2)

где ATool(t), BStock(t) – матрицы движения инструмента и заготовки в системе координат станка соответственно; Ai, Bj – матрицы, характеризующие движение по i-й оси, управляющей положением инструмента, и j-й оси, управляющей положением заготовки. Так как каждая ось управляется определенной переменной, например, определенной станочной координатой, то возможны случаи, когда несколько осей станка управляются одной и той же станочной координатой. Полная производная матрицы M(t) будет выглядеть так:

                                      (3)

где M(t) – матрица оси станка; x0, x1, …, xn – переменныe, управляющие станочными осями. Таким образом, после дифференцирования выражение (2) примет вид выражения (3). Количество слагаемых в нем равно количеству координат станка. Если одной координатой управляется несколько осей станка, слагаемое из выражения (3) будет представлять собой сумму нескольких частных производных матрицы станка по этой координате.

При моделировании траектории движения инструмента полезно уметь распознавать два частных случая – отрезок и дугу окружности. Такая задача распознавания решается на основе анализа соотношения между вращательным и поступательным движениями.

В работе станка также часто встречается движение инструмента по винтовой линии. Важно уметь без решения задачи распознавания моделировать винтовую траекторию движения инструмента кривой, которая в проекции на плоскость вращения представляла бы собой окружность. При моделировании обработки заготовки по такой траектории можно рассчитывать на более точное представление обработанной поверхности. Исходя из этого, был реализован метод, позволяющий находить ось винтовой линии, зная начало и конец кадра, а также векторы скорости в них.

Постановка задачи: заданы начало и конец кадра – P0 и P3, векторы мгновенной скорости  и  в точках P0 и P3. Необходимо построить винтовую траекторию движения инструмента.

Вначале весь кадр разбивается на дуги не более 180°, для того чтобы можно было представить их рациональными кубическими кривыми. Зная это, можно выявить траекторию в виде отрезка, если векторы мгновенных скоростей на концах траектории коллинеарны. Если нет, то считается, что траектория представляет собой либо дугу окружности, либо винтовую линию. В обоих случаях ось вращения может быть найдена.

Рассмотрим схему (рис. 2). Плоскость γ перпендикулярна вектору оси винтовой линии . Из соображений о строении винтовой линии имеем

.                                                           (4)

В таком случае вектор оси можно представить следующим образом:

,                            (5)

где α0, α3 и µ – числовые коэффициенты.

Так как в винтовой линии модули мгновен- ных скоростей одинаковы, выражение (5) примет вид

.                               (6)

Если необходимо найти лишь направление вектора оси, можно считать коэффициент α=1.

Выражение (6) упростится до вида

.                                  (7)

Из рисунка 2 следует, что

.       (8)

Зная способ нахождения , единственной неизвестной остается β, то есть, по сути, угол, задающий ориентацию вектора  относительно векторов  и . Для расчета нужного угла β необходимо иметь инструмент, качественно оценивающий вычисление . Из основной постановки задачи известно, что станочные координаты изменяются линейно во времени. Значит, при движении инструмента по винтовой линии точка на инструменте, описывающая траекторию, движется с постоянной угловой скоростью в плоскости γ (рис. 3).

Так как плоскость γ расположена под углом β к плоскости ^, то справедливо следующее выражение:

.                                                    (9)

Здесь угол , зависящий от времени, и есть угловая скорость:

,                                 (10)

где α – угол между векторами  и (рис. 4).

Рассматривая рисунок 4, можно написать следующее выражение, из которого выразить α:

,                                      (11)

.                                (12)

Винтовая траектория движения инструмента также характерна тем, что инструмент имеет постоянный по времени модуль линейной скорости. Отсюда следует, что

,                                             (13)

где  – проекция вектора скорости в начале кадра на плоскость γ.

Исходя из рисунка 3, вычисляем радиус проекции винтовой линии:

,        (14)

где R – радиус проекции винтовой линии;  – длина проекции  на плоскость γ;  и – проекции P0 и P3 на плоскость γ соответственно.

Модуль линейной скорости постоянен во всех точках винтовой линии, а значит, дол­жен быть равен модулям мгновенных ско­ростей  и  в начале и конце траектории движения. Сравнение на совпадение значений скоростей на концах траектории и скоростей, полученных из вычислений и зави­сящих от угла β, дает возможность написать функцию F(β) для оценки:

, (15)

где F(β) – качественная функция от β.

Учитывая, что  и , получим формулу для F(β):

.                              (16)

График данной функции изображен ра рисунке 5. Из графика видно, что есть некоторое значение βопт, при котором функция F(β) принимает нулевое значение, то есть такую ориентацию вектора  в пространстве, при которой векторы скорости на концах траектории совпадают с векторами, заданными изначально; βопт находится методом дихотомии на интервале [β0, 180).

Так как предельным случаем винтовой траектории движения инструмента является дуга окружности, то β0 ищем следующим образом:

,                         (17)

,                  (18)

,                                           (19)

,                                        (20)

где λ – длина вектора .

Получив вектор  оси винтовой линии, можно построить траекторию. Так как проекцией траектории на плоскость γ, перпендикулярную вектору , является окружность, то проекция характеристической ломаной на эту плоскость будет ломаная, с совпадающими управляющими точ­ками кривой P1 и P2. А так как траектория не является плоской кривой, касательные на ее концах не пересекаются. Значит, P1 и P2 не совпадают, а отрезок ломаной P1P2 будет перпендикулярен плоскости γ. Для нахождения управляющих точек P1 и P2 найдем точку пересечения  и  в плоскости γ. Восстановим их до реальных прямых, являющихся продолже­ниями касательных векторов  и , после чего соединим характеристической ломаной.

При построении траектории движения инстру­мента необходимо решить задачу уточнения.

Постановка задачи: построить траекторию движения инструмента с погрешностью не более заданной.

При рассмотрении данной задачи самым простым решением является деление траектории на несколько сегмен­тов, пока отклонение получившихся в результате частей от истинной кривой не уложится в заданную погрешность (рис. 6).

Так как отклонение кривых друг от друга заведомо меньше ∆, величина ∆ может служить оценкой (достаточно грубой) отклонения сверху. На рисунке 7 изображена винтовая линия – результат построения траектории. Инструмент одновременно поворачивается вокруг оси винтовой линии и смещается вдоль нее. Движение вдоль оси винтовой линии осуществляется с поворотом. Таким образом, инструмент движется по поверхности тора переменного радиуса. Это сложное движение обусловлено двумя независимыми перемещениями и двумя независимыми вращениями. Данный кадр записан в программе в виде следующих изменений значений координат: B2160.Z-140.Y-500.C30.

Соответственно, значения координат XYZABC до и после выполнения кадра выглядят так: (50, 10, 0, 0, 0, 0) и (50, -490, -140, 0, 2160, 30).

На основе полученных результатов разрабо­таны алгоритмы и программы моделирования траектории движения инструмента. Соответствующий модуль включен в состав симулятора обработки на станках с ЧПУ. Кроме того, эти результаты являются основой для дальнейших исследований в области геометрического моделирования сложной многокоординатной обработки.

Литература

1.   Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве; пер с англ. М.: Мир. 1982. 304 с.

2.   Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989. 478 с.

3.   Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989. 504 с.

4.   Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. Начала компьютерной графики. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.