Software & Systems

Рассматривается задача управления финансовыми ресурсами ремонтного предприятия на временном интервале [0,T]. Предполагается, что предприятие может развиваться за счет внутренних источников (прибыли).

Предприятие выпускает один вид продукции при неизменной технологии ремонта. Производственная деятельность предприятия описывается однофакторной производственной функцией. Предполагается мгновенное освоение капиталовложений, отсутствие временного лага между осуществлением затрат и началом функционирования производственных фондов. Считается, что вся произведенная продукция предприятия реализуется.

Определяются оптимальные условия привлечения внутренних финансовых ресурсов для развития основных фондов ремонтного предприятия.

Динамика производственных фондов ремонтного предприятия на временном интервале [0,T] описывается дифференциальным уравнением:

,                                       (1)

где K(t) – количество основных производственных фондов в момент времени t, выраженное в натуральных единицах; μ – коэффициент выбытия основных фондов; u(t) – часть прибыли, инвестируемая в основные фонды, в стоимостном выражении; pф – цена основных производственных фондов [1,2].

Известно количество основных фондов в начальный момент времени в натуральных единицах:

.                                                             (2)

Уравнение (1) показывает, что внутренние инвестиции используются на восстановление и увеличение основных производственных фондов.

Чистая прибыль предприятия в момент t определятся следующим выражением:

,                    (3)

где Pr(t) – чистая прибыль фирмы в момент t; pп – цена продукции фирмы; Q(t) – объем выпуска продукции; Z(t) – производственные затраты; A(t) – амортизационные отчисления; N(t) – налоговые выплаты.

Объем выпуска продукции, производственные затраты, амортизационные отчисления, налоговые выплаты определяются следующими выражениями:

,                                                       (4)

,                                                         (5)

,                                                        (6)

,             (7)

где f – показатель фондоотдачи; βЄ[0,1] – производственные мощности; с – себестоимость продукции; n1 – НДС; n2 – ставка налога на прибыль.

Подставляя (4)–(7) в (3), получим:

,                                  (8)

где коэффициент α определяется следующим выражением: .

Экономический смысл коэффициента α – прибыль предприятия от реализации единицы продукции.

В качестве критерия оптимальности примем прибыль предприятия, идущую на потребление, то есть ту часть прибыли, которая остается после инвестиций в основные фонды:

,                               (9)

где r –величина кредитной ставки. Подставим выражение (8) в критерий (9):

.           (10)

В качестве управляющих функций рассматриваются объемы внутренних u(t) инвестиций. На управляющие функции наложено следующее ограничение:

.                                                 (11)

Экономический смысл ограничения (11) заключается в том, что существуют предельные величины i0(t), i(t), характеризующие возможности предприятия в освоении внутренних капиталовложений. Сформулируем задачу оптимального управления. Необходимо, выбирая объемы внутренних инвестиций, перевести динамическую систему (1) из начального состояния (2) в конечное в момент T таким образом, чтобы критерий оптимальности (10) был максимальным.

Для решения сформулированной задачи оптимального управления применим принцип максимума Понтрягина [1,2]. Запишем функцию Гамильтона:

,

где Ψ(t) – вспомогательная переменная, удовлетворяющая уравнениям:

                 (12)

и условиям трансверсальности:

.                                                                      (13)

Перепишем функцию Гамильтона:

.    (14)

В соответствии с принципом максимума Понтрягина в каждой точке оптимальной траектории функция Гамильтона достигает максимума относительно управляющих параметров.

Анализируя выражение (14), замечаем, что гамильтониан линейно зависит от управляющей функции u(t). Следовательно, оптимальное управление инвестициями определится следующими соотношениями:

                             (15)

Таким образом, оптимальное управление является релейным. Оптимальная стратегия для предприятия – либо инвестирование получаемой прибыли или привлекаемых кредитных ресурсов с максимальной интенсивностью в основные фонды, либо полный отказ от расширения основных фондов. Для определения условий оптимальной стратегии предприятия решим дифференциальное уравнение (12) методом разделения переменных: .

Интегрируя, получаем выражение

.

Константу С определим из условия трансверсальности (13), окончательно получим:

.                             (16)

Функция Гамильтона с учетом (16) будет следующей:

     (17)

Оптимальные условия инвестирования с учетом (16) запишутся:

        (18)

Таким образом, полученное условие (18) определяет оптимальную стратегию предприятия по использованию внутренних ресурсов.

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1983. – 392 с.

2. Павлов О.В. Оптимальное управление финансовыми ресурсами динамической организационной системы. Управление большими системами. // Сб. тр. молод. учен. Вып. 5. – М.: ИПУ РАН. – 2003. – 157 с.